저항의 접속_직렬 연결/병렬연결, 합성 저항 및 전류/전압 유도

안녕하세요, 올지영입니다.

 

 

 

 

여러분 기억하시나요?

 

수 십년 전...

(개인차 있음)

 

 

학교 준비물 중에 과학 상자라고 해서..

꼬마전구와 집게전선, 전지가 들어있고

요리조리 연결해서 전구의 밝기를 비교해보는 실험이 있었습니다.

 

사진1. 꼬마전구 실험세트 (네이버쇼핑몰)

 

 

 

전지, 혹은 전구를 어떻게 연결하느냐에 따라

밝기가 달라지는 것이 신기하기도 하고,

한편으로는 여러가지 변수로 인해

제대로 반응하지 않는 전구의 성능을 의심하기도 했던 기억이 납니다.

 

 

여기에서 사용한 귀여운 꼬마전구-

전기를 소모하고 있는 이 친구가 바로 대표적인 "저항"입니다.

 

 

 

 

이번 포스트에서는 그 시절 우리를 즐겁게(?) 했던 꼬마전구를 떠올려 보며

 

저항의 접속에 따라 달라지는

전체 회로의 전압, 전류 그리고 합성 저항의 특성에 대하여

공부해 보도록 하겠습니다.

 

 

 

유도하는 식이 많이 나올 예정이라 긴 글 주의해 주세요~!

 

 

 

 

 

 

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저항의 접속 : 직렬 연결과 병렬 연결

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직렬 연결

 

저항의 접속 방법은 크게 세 가지로 나뉘어 집니다.

직렬 연결, 병렬 연결, 그리고 둘을 함께 섞은 직병렬 연결입니다.

 

 

직렬 연결은 여러 개의 저항이 차례로, 바로 연결된 방식을 말합니다.

 

 

 

직렬 연결 회로에서의 전류, 전압, 저항의 값은 

어떻게 될까요?

 

 

 

 

아래는 두 개의 저항이 직렬로 연결된 회로입니다.

 

그림1. 직렬 접속 회로

 

직렬 연결(접속)이 된 회로에서

키르히호프의 제 2법칙 (전압 법칙)을 적용하면

전원전압의 합만큼의 높이와 저항 측에 걸리는 전압의 높이는 동일하므로

 

 

 

 

여기에 옴의 법칙(V=IR)을 적용합니다. 

 

 

키르히호프의 제 1법칙 (전류 법칙)을 적용하면

분기점이 따로 없는 일렬로 이루어진 회로 이므로 

 

I의 값을 통일하여 식에 적용 시켜 줍니다. 

 

 

 

결국 전체 전압은

전체저항과 전체 전류의 곱으로 표현 되므로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

따라서 직렬 연결에서의 전체 합성 저항 값은 각각의 저항을 더한 값과 같습니다.

 

(이하 R_Total은 R_T 혹은 R₀로 표현됩니다.)

 

 

 

 

 

 

이번에는 직렬 연결에서의 전체 전류 값을 구해 볼까요?

 

 

우선 I에 대한 옴의 법칙을 보도록 하겠습니다.

전류는 전체 전압을 전체 저항으로 나눈 값입니다.

 

KCL 법칙에 의해 회로 내의 모든 I의 값은 동일합니다.

그리고 앞에서 우리는 전체 합성 저항 값이

각각의 저항을 더한 값이라는 사실을 알게 되었습니다.

 

 

그러므로 직렬 연결에서의 전체 전류 값은 아래와 같습니다. 

 

 

 

이제 각각의 저항에 걸리는 전압 값에 대해 알아보겠습니다.

 

 

 

R₁에 걸리는 전압 V₁은

 

 

여기에서 전류  I₁은 결국 전체 전류 I와 동일하므로

위에서 유도한 I 값을 대입하면

 

 

같은 방식으로 V₂ 값도 유도할 수 있습니다.

 

 

 

 

 

여기까지 잘 이해되셨다면 

이번에는 예시를 들어 값을 구해보도록 하겠습니다. 

예시1

 

 

위와 같은 회로에서 합성 저항 값은 얼마인가요?

 

직렬 회로이기 때문에 각각의 저항 값을 더해주면 됩니다.

 

 

합성저항R_T는10[Ω]입니다.

 

 

 

 

 

이번에는 전체 전류 값을 구해 보겠습니다.

 

 

전체 전류 I는 1[A]입니다.

 

 

 

 

다음으로 각각의 저항에 흐르는 전압 값을 구해보겠습니다.

 

 

 

V₁은 4[V], V₂는 6[V]로 구해지는 것을 확인하실 수 있습니다.

 

 

위 예시를 통해서 이해하셔야 할 것은,

4Ω의 저항에 4V가 걸리고 6Ω의 저항에 6V가 걸렸다는 사실입니다.

즉 

저항이 작은 쪽에 작은 전압이, 저항이 큰 쪽에 큰 전압이 걸려 있습니다.

 

여기에서 우리는

직렬회로에서의 전압은 저항의 크기에 비례함을 확인할 수 있습니다.

 

 

 

 

여기에서 더 나아가서

 

저항이 2개가 연결되지 않고 3개면 어쩌고 4개면 어쩔까요?

 

 

 

 

저항이 n개 직렬로 접속된 경우의 합성저항은

계속해서 더해 나가시면 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

병렬 연결

 

 

병렬 연결은 여러 개의 저항의 한쪽 단자가 연결되어 접합점을 만들고

나머지 끝도 연결되어 다른 지점을 만드는 방식으로

서로 연결되는 회로입니다.

전류가 흐르는 길이 나누어 진다는 뜻에서 분로 연결이라고 부르기도 합니다.

그림2. 병렬 접속 회로

 

선은 연결만 되어 있으면 그리는 방식은 상관 없기 때문에

위 2개의 회로는 동일한 회로입니다.

(저는 처음에 많이 헷갈렸어요...그리면서 계속 이해해 봅니다. 같은거라고..)

 

 

동일한 방식으로 키르히호프의 제 1법칙(KCL)을 적용하면 

분기점에서 들어오는 전류의 합과 나가는 전류의 합은 동일하므로 

 

 

 

 

이번에는 옴의 법칙을 적용하도록 해볼게요.

전류에 대한 옴의 법칙을 가져오겠습니다.

 

 

이므로 이를 앞서 확인한 KCL 법칙에 적용하면

 

 

이제 키르히호프의 제 2법칙(KVL)을 적용하면

동일한 높이를 지닌 전압은 그 크기가 같으므로

 

 

위의 전류 식에 통일된 값을 적용시켜 줍니다.

 

V로 묶어서 식을 정리합니다.

 

 

 

위 식에서 V를 소거하고 나면 아래 식만 남습니다.

 

 

 

 

따라서 병렬 연결에서의 전체 합성 저항 값은 아래와 같이 표현됩니다.

 

 

직렬 연결에 비해 다소 복잡한 수식입니다...

 

 

이제 초등학교 때 배운 통분을 해보아요..

 

단, 위 식은 병렬 연결에서 저항이 2개 연결되어 있을 때에만 적용이 가능합니다.

 

3개 이상되면.. 식이 아주 복잡해 지기 때문에...

저항이 2개 이상, 즉 n개 연결되어 있다면 

처음 유도된 수식을 참고하여야 합니다.

 

결

저항이 n개 병렬로 접속된 경우의 합성저항은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

 

 

또한, 같은 값의 저항이 n개 병렬로 연결되는 경우는 

위의 수식에 대입하여 계산해 보면 결국 아래와 같이 정리됩니다.

 

 

 

 

 

 

이제 위에서 유도된 합성저항 값을 바탕으로 

병렬 연결에서의 전체 전압 값을 구해 보겠습니다.

 

 

 

 

옴의 법칙을 가져옵니다.

 

 

저항이 2개인 경우 R_T에 대한 수식을 대입하면 

 

가 됨을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

이번에는 각각의 저항에 흐르는 전류 값을 구해보겠습니다.

옴의 법칙 전류 식에서 위에서 구한 V_T 수식을 대입합니다. 

 

 

R₁을 약분하고 나면 결국 남는 것은

 

같은 방식으로 I₂도 구할 수 있습니다.

 

 

위의 유도된 식에서 유념하셔야 할 것은 

I₁을 구할 때는 R₂가 사용되었고 I₂를 구할 때에는 R₁이 사용되었다는 사실입니다.

앞서 직렬 연결에서 V₁과 V₂를 구할 때와는 반대되는 상황이지요.

 

 

 

여기에서 우리는

병렬회로에서의 전류는 저항의 크기에 반비례함을 확인할 수 있습니다.

 

 

 

전류가 저항의 크기에 반비례함을 보기 위하여

병렬 연결 회로의 예시를 가져와 보았습니다.

예시2

 

 

위 회로에서 각각의 저항에 흐르는 전류의 값을 구해보겠습니다.

 

 

 

 

I₁은 R₂, I₂는 R₁을 이용하여 값을 구하면

각각  6[A], 4[A] 로 구해집니다.

 

저항이 작은 쪽에 큰 전류가 흐르고,

저항이 큰 쪽에 작은 전류가 흐르고 있음을 알 수 있지요.

 

 

 

 

오늘은 저항의 직렬, 병렬 연결에 따른

합성 저항의 값과 그에 따른 전류/전압에 대하여 알아보았습니다.

블로그를 시작하면서

절대 수식만 가득한 글은 쓰지 말아야지 하고 다짐했는데

결국 그런 글이 나오고야 말았네요

 

 

제 글이 마음에 드신다면, 구독과 공감 부탁드려요!

 

 

 

 

ⓒ올지영